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三大数学问题
80年代初，为了学到更多的知识，我们这一代“知青”到“五大高校”读书，之后又去“成人自学考试”深造。我在“西南财经大学”读经济学时，一位德高望重的导师在一堂面授高等数学课上告诉我们：人类文明的进步与数学的发展成正比；中国也为人类数学的发展做出了卓越的贡献，从古代的祖冲之到今天的华罗庚。21世纪，还有在座的各位，还有来自全国各地有志之士。
讲师接着说：古代数学史上有世界三大难题（求立方倍数、方圆、三等分角），现代数学史上有第五公设、费马大定理、任意大偶数代表两个素数之和，这些都被前人打破了，未来还会被打破。现代发达国家的数学家在研究什么？21世纪的数学精英在研究什么？
讲师接着讲了现代数学的三大难题：一是树有20棵，每行4棵。古罗马人和希腊人在16世纪完成了16行的排列，18世纪高斯猜想可以排列18行，19世纪美国的劳埃德完成了这个猜想，20世纪末两位电子计算机专家完成了20行的记录，21世纪会不会有新的突破？
第二，两个邻国的颜色并不相同。任何地图可以用多少种颜色来着色？五种颜色已经被证明，四种颜色只有美国的阿佩尔和哈肯才证明。许多地图已经通过电子计算机在理论上逐一列出并完成。全面的逻辑人工推理证明仍在等待有志之士。
第三，可以证明，任意三个人中，必有两个是同性，任意六个人中，必有三个互相认识或者不认识（认识的用红线连接，不认识的用蓝线连接，即六个粒子用双色线连接，必出现单色三角形）。近年来，国际数学奥林匹克也针对此类热点问题选拔后备力量。（例如，17位科学家讨论三个题目，其中两位讨论一个题目，证明至少有三位科学家讨论的是同一题目；18个点用两种颜色连接，必有一个单色四边形；6个点用两种颜色连接，必有两个单色三角形，等等）。在单色三角形研究中，不出现单色三角形的极值映射研究是难中之难，也是热门中之热门。
它们可以概括为二十棵树种植问题、四色地图绘制问题、单色三角形问题，被俗称为现代数学的三大难题。
那时，大学生一个学期能听老师讲课的次数还不到十次。数学上的三道难题，是我们这些学生在课堂上最难忘、最精彩的一课。时光荏苒，转眼间我们已经进入了21世纪的第一个十年（为了区别于下一个十年——10年代）。在这里，我想把我在大学里学到的最精彩、最难忘的一课，献给不同层次、不同兴趣的读者。
“千年难题”之一：P（多项式算法）问题与NP（非多项式算法）问题
周六晚上，你参加了一个盛大的聚会。你感到很不安，想知道大厅里是否有你已经认识的人。主人暗示你一定认识坐在角落里甜点盘旁的那位女士罗斯。你一秒钟后朝那边瞥了一眼，发现主人说得对。然而，如果没有这样的提示，你就得环顾大厅，逐一检查每个人，看看是否有你认识的人。生成问题的解通常比验证给定的解花费的时间要长得多。这是这种普遍现象的一个例子。同样，如果有人告诉你数字 13,717,421 可以写成两个较小数字的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但如果他告诉你它可以分解为 3607 乘以 3803，那么你可以用袖珍计算器轻松地验证这是正确的。无论我们编写的程序是否巧妙，确定答案是否可以使用内部知识快速验证，或者在没有此类提示的情况下需要大量时间来解决，被认为是逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。这是史蒂文·科赫在 1971 年提出的。
千年难题之二：霍奇猜想
20 世纪的数学家发现了一种研究复杂物体形状的强大方法。其基本思想是，通过粘合尺寸不断增加的简单几何构件，我们可以在多大程度上形成给定物体的形状。这种技术非常有用，因此被推广到许多不同的领域；最终形成了强大的工具，使数学家能够在对研究中遇到的各种物体进行分类方面取得巨大进展。不幸的是，在这种推广中，该过程的几何起点变得模糊不清。在某个时候，必须添加某些没有几何解释的组件。霍奇猜想断言，对于一种特别完美的空间类型（称为射影代数簇），称为霍奇链的组件实际上是称为代数链的几何组件的（有理线性）组合。
“千年难题”之三：庞加莱猜想
如果我们把橡皮筋拉到苹果表面，那么我们可以通过缓慢移动橡皮筋将其缩小到一点，而不会将其拉断或使其离开表面。另一方面，如果我们想象同样的橡皮筋在轮胎表面上以适当的方向拉伸，那么我们就无法在不拉断橡皮筋或轮胎的情况下将其缩小到一点。我们说苹果表面是“单连通的”，而轮胎表面则不是。大约一百年前，庞加莱知道二维球面本质上以单连通性为特征，并提出了三维球面（四维空间中距离原点单位距离的点集）的对应问题。这个问题立即变得异常困难，从那时起，数学家们就一直在努力解决这个问题。
“千年难题”之四：黎曼猜想
有些数字具有特殊性质，它们不能表示为两个较小数字的乘积，例如 2、3、5、7 等。这样的数字被称为素数；它们在纯数学及其应用中发挥着重要作用。这些素数在所有自然数中的分布不遵循任何规律；然而，德国数学家黎曼 (1826-1866) 观察到素数的频率与精心构造的所谓黎曼-蔡塔函数 z(s$) 的行为密切相关。著名的黎曼假设指出，方程 z(s)=0 的所有有意义的解都位于一条直线上。这已在前 1,500,000,000 个解中得到验证。证明它对每个有意义的解都成立将揭示素数分布的许多谜团。
千禧年第五大难题：杨-米尔斯的存在与质量差距
量子物理定律适用于基本粒子世界，就像牛顿经典力学定律适用于宏观世界一样。大约半个世纪前，杨和米尔斯发现量子物理揭示了基本粒子物理和几何物体数学之间的奇妙关系。基于杨-米尔斯方程的预测已在世界各地的实验室进行的高能实验中得到证实：布罗克黑文、斯坦福、欧洲核子研究中心和筑波。然而，他们的数学上严谨的方程，既描述了重粒子，又很严格，却没有已知的解。特别是，“质量间隙”假设，被大多数物理学家接受并用于解释“夸克”的不可见性，从未以数学上令人满意的方式得到证实。这个问题的进展需要在物理学和数学中引入全新的概念。
第六个“千年难题”：-（-）方程的存在性和光滑性
当我们在湖中蜿蜒前行时，波浪的起伏会跟随我们的船只，而空气的湍流会跟随我们现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家相信，通过理解纳维-斯托克斯方程的解，可以解释和预测微风和湍流。虽然这些方程是在 19 世纪写成的，但我们对它们的了解仍然很少。挑战在于在数学理论方面取得实质性进展，这将使我们能够解开纳维-斯托克斯方程中隐藏的秘密。
千年难题 7：Birch 和 -Dyer 猜想
数学家们一直着迷于刻画代数方程（例如 x^2+y^2=z^2）的所有整数解的问题。欧几里得曾经给出这个方程的完整解，但对于更复杂的方程，这变得极其困难。事实上，正如 Yu.V. 所指出的，希尔伯特第十问题是无解的，也就是说，没有通用的方法来确定这样的解是否有整数解。当解是阿贝尔簇的点时，Bech 和 -Dyer 猜想指出，有理点群的大小取决于相关 Zeta 函数 z(s) 在点 s=1 周围的行为。具体来说，这个有趣的猜想指出，如果 z(1) 等于 0，则有无穷多个有理点（解），反之，如果 z(1) 不等于 0，则只有有限多个这样的点。 |
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发表于 2024-9-15 06:13:19
